Hazırlık
Sayılar, sayı sistemi adı verilen bir sistemle kategorilere ayrılır. Bu sisteme göre (sırasıyla):
1) Doğal sayılar
2) bir tamsayı
3) rasyonel sayılar
4) Gerçek sayılar
sıralanabilir.
1) Doğal sayılar
Genel olarak en çok kullanılan sayı türüdür. Her insan bazı durumlarda bir şeyler saymak isteyebilir. Bunlar hemen hemen herkesin kullandığı numaralar.
Doğal sayıların ne olduğunu hepimiz sezgisel olarak biliyoruz. 0,1,2, …, m,… Diğer tüm sayı sistemleri doğal sayılar yardımıyla oluşturulmuştur. Önce bu sayıları tanımlayarak başlayalım:
Doğal sayıların ilkini şu şekilde oluşturabiliriz:
0 = çap
1 = {0}
2 = {0,1}
3 = {0,1,2}
.
.
Başka bir deyişle, sayı olarak temsil edilebilirler. Ancak, tüm doğal sayıları ele alırsak, hepsini bu şekilde tanımlamak zorlaşır. Böylece şu şekilde bir kod kullanabiliriz:
İlk doğal sayının Ø olduğunu ve verilen bir doğal sayı için bu sayıdan sonraki ilk doğal sayı olacağını gördük. Şimdi bazı tanımlar yapalım:
Tanımı
Ardışık A dizi olmakla birlikte
Diyelim ki formatta tanımlanmış bir grubumuz var.
Bu tanıma göre doğal sayıları olarak alabildiğimiz görülmektedir. Bu şekilde, gerekli doğal sayı m elde edilebilir. Ancak bu yöntem, doğal sayılar kümesini oluşturmak için yeterli değildir. Böyle bir grubun varlığı bu şekilde kanıtlanamaz. Çünkü şimdiye kadar yaptıklarımızla boş kümeyi içeren bir küme var mı ve A kümesini içerdiğinde kümeyi de içeriyor mu? Soru şimdilik cevapsız kalıyor.
Tanımı
Koşulu sağlayan X kümesine sonek kümesi denir.
Bu tanımı verdikten sonra, aşağıdaki ‘sonsuzluk aksiyomunu’ kullanarak yukarıdaki soruya olumlu bir cevap verebiliriz:
Aksiyom (Sonsuz Aksiyom)
Bir dizi var.
Bu aksiyoma göre, sonraki kümenin sonsuz sayıda eleman içerdiğini anlıyoruz. Dolayısıyla, doğal sayılar kümesini, kümelerin aralığına göre ardışık kümelerin en küçüğü olarak kabul edebileceğimizi söyleyebiliriz. Bu tanımı yapmadan önce aşağıdaki teoremi inceleyelim:
teori
Sonraki tüm grupların kesişimi de bir sonraki gruptur.
Kanıt:
Tanımı
Ardışık tüm kümelerin kesişimi olan N kümesine doğal sayılar kümesi denir. N grubunun elemanlarına doğal sayılar da denir.
2) bir tamsayı
Doğal sayıları yukarıda açıklamıştık. Doğal sayılar kümesinde tanımlanan bazı denklemlerin çözüm kümeleri yoktur. Örneğin, x’in bilinmeyen bir sayı olduğu x + 3 = 8 denklemini sağlayan bilinmeyen x’i belirlemek istiyorsak, o zaman bu denklemin N üzerinden çözümü x = 5’tir.
Öte yandan, N’de x + 4 = 6 denklemini çözemiyoruz çünkü bu denklemin, bilinmeyen x’in çözümü negatif bir sayıdır ve N kümesinde negatif sayılar olmadığı için çözümü de yoktur. denklem. Bu nedenle, yukarıdaki ve benzeri denklemlerin çözümünün bulunabilmesi için N grubunun genişletilmesi gerekliliği ortaya çıktı.
Her bir doğal sayıyı iki doğal sayı arasındaki fark olarak farklı şekillerde yazabiliriz. Örneğin, 4 numara
4-0, 5-1, 6-2, …
Birinci terimden ikinci terimin çıkarıldığı bu ifadeleri yazabiliriz.
(4,0), (5,1), (6,2), …
Bir şekildeki sıralı çiftlere karşılık gelecek olursak, bu sıralı çiftlerin ortak özelliği (a, b), (c, d) gibi herhangi bir sıralı çift içindir.
bir + d = b + c
incirde. Açıkçası, 4 için bu işlem diğer tüm doğal sayılar için de tekrarlanabilir. Doğal sayılara uygulanan bu yöntemi bir adım öteye taşıyarak şöyle bir bağıntı tanımlamamız gerekir:
Tanımı
N x N’den daha büyük bir ilişki için
(a, b) (c, d) a + d = b + c
Olarak tanımlanır. N x N üzerinden ilişkinin bir denklik ilişkisi olduğu kolayca gösterilebilir. (N x N)/değerlik bölümleri kümesine tamsayılar kümesi denir ve Z sembolü ile gösterilir. [(a,b)] Eşlik bölümü gibi, tamsayı olarak da adlandırılır ve kısaca
[a,b] = [(a,b)]
Teklif kullanılabilir.
3) rasyonel sayılar
Şimdiye kadar tanımladığımız iki sayısal sistem bazı denklemleri çözmek için hala yeterli değil. Örneğin 5x = 3 denklemini ele alalım. Bu denklemin çözümünden ve eşitsizliğin ortak çözümünden elde edilir. Bu ikisinin ilk çözümüne C*, diğerine C** dersek
bulunan. Bu iki çözüm kümesinin kesişimi bulunduğundan, Z’de 5x = 3 denkleminin çözümü yoktur.
teori
j * = j \ {0}
Z x Z*’den daha fazlası için (m, n) ~ (p, r) mr = np ile tanımlanan ~ ilişkisi bir denklik ilişkisidir.
Kanıt
1. (m, n) Z x Z (m, n) ~ (m, n) için çünkü mn = nm.
2. (m, n) ~ (p, r) ise mr = np ve pn = rm (p, r) ~ (m, n) dir.
3. (m, n) ~ (p, r) ve (p, r) ~ (m, n) mr = np ve ps = rk ise. p = 0 ise, m = 0 = r. Bu durumda ms = nk (m, n) ~ (k, s). p 0 m ise. (ps) = m. (rk) = (mr.k = (np).k (ms).p = (nk).p ms = nk (m, n) ~ (n, r)) elde edilir.
Tanımı
(Z x Z *) / ~ denklik bölümleri kümesine rasyonel sayılar kümesi denir ve Q sembolü ile gösterilir. Q kümesinin herhangi bir elemanına rasyonel sayı da denir.
Örneğin, öğeyi içeren değerlik bölümü [(m,n)] ile gösterirsek
[(0,1)]Ve [(1,3)]Ve [(0,-5)] Rasyonel sayılar olacak.
4) Gerçek sayılar
xx = 2 gibi rasyonel sayılar olmadığını açıklığa kavuşturalım:
Tersine, xx = 2 gibi bir rasyonel sayı olduğunu varsayalım. Burada sayılarının 1’den başka ortak paydaları olmadığını varsayabiliriz.
bulunan. 2’den beri | 2.n eşittir 2 | m, sonra 2 | m var. O halde m = 2.p de olmalıdır. Bu bilgiyi denklemde kullanırsak. Dolayısıyla, m = 2.b, n = 2.k denklemleri yukarıdaki fikirle çelişir. O halde xx = 2 gibi bir rasyonel sayısı yoktur.
Yukarıdaki örnekte gördüğümüz gibi, önceden tanımlanmış sayı sistemlerine baktığımızda denklemin çözümünü bulamıyorduk. Denklemin çözümü olarak göstereceğimiz sayıyı sayı ekseninde gösterebileceğimiz için rasyonel sayılar kümesi de bazı denklemleri çözmeye yetmemektedir. Gerçek sayıları tanımlayalım.
Tanımı
rasyonel sayılar kümesi
Tanımı
Dedekind’in segmentlerine gerçek sayılar denir ve gerçek sayılar kümesi R ile gösterilir.
Diğer gönderilerimize göz at
[wpcin-random-posts]