Euler-Bernoulli ışın teorisi
Euler-Bernoulli ışını teorisi veya basitçe ışın teorisi, izotropik bir ışının esnekliğinin basitleştirilmiş bir ifadesidir. Bu teori ile kirişlerin yük ve kırılma karakteristikleri hesaplanır. İlk olarak 1750’de bahsedildi, ancak 19. yüzyıla kadar Eyfel Kulesi ve dönme dolap binalarında yaygın olarak kabul görmedi. Bu başarılı örneklerden sonra hızla önemi artmış ve mühendisliğin yapı taşlarından biri haline gelmiştir. Aynı zamanda ikinci sanayi devriminin katalizörlerinden biridir.
Zamanla seviye teorisi ve sonlu eleman analizi gibi ek analiz araçları geliştirildi, ancak basit demet teorisi bilimin ihtiyaç duyduğu en önemli araç olmaya devam etti. Özellikle inşaat ve makine mühendisliği alanlarında büyük önem arz etmektedir.
Tarih
Işın teorisini geliştirmeye yönelik ilk girişim Galileo Galilei tarafından yapılmış ancak çalışmalarıyla buna karşı çıkan Leonardo da Vinci yaptığı ciddi gözlemlerle Galilei’yi alt etmeyi başarmıştır. Daha sonra Galileo, Hooke yasasını ve kalkülüs teorisini yanlışlıkla kabul etmesi vesilesiyle Leonardo da Vinci’yi yendi ve ününü yeniden kazandı.
Bernoulli ışını, adını önemli keşifler yapan Jacob Bernoulli’den almıştır. Leonhard Euler ve Daniel Bernoulli bu faydalı teoriyi ilk öneren kişilerdi. Bu dönemde bilim ve endüstri alanları bölünmüş, akademisyenler tarafından oluşturulan matematiksel çözümlere şüpheyle bakılırken, güvenli ve pratik olarak yararlı uygulamalara güvenilmiştir. Eyfel Kulesi gibi Euler-Bernoulli ışın teorisinin yaygın uygulamalarının görüldüğü 19. yüzyıla kadar köprüler ve binalar geleneksel yöntemlerle inşa edilmeye devam etti.
kiriş denklemi
Uzun, ince, tek boyutlu izotropik bir malzemeden oluşan varsayılan bir demet için, esneklik eğrisi aşağıdaki gibi tanımlanır:
Bu, Euler-Bernoulli denklemi olarak bilinir. Kirişi x ekseni yönünde tek boyutlu bir nesne olarak düşünürsek, u(x) eğrisi kirişteki çökmeyi tanımlar. Dağıtılmış yükün, yani basıncın bir ifadesi olan W, x, u ve diğer değişkenlerin bir fonksiyonudur. E, esneklik modülüdür ve I, atalet modülüdür.
Burada u = u(x), w = w(x) ve EI bir sabittir, yani:
Bu denklem, statik bir kirişteki çökmeyi doğru bir şekilde tanımlar ve mühendislik uygulamalarında kullanılan en temel unsurlardan biridir.
Terimlerin anlamları şunlardır:
– Kırılmaz.
– yarıçapın eğimidir.
ışının bükülme anıdır.
– kirişteki kayma gerilmesidir.
Bu ışın, tanım gereği tek boyutlu bir nesne olarak tanımlanır. Kiriş düz olmalı, dağıtılan yükler düz olmalı ve burulma olmamalıdır.
Bu çekme gerilmesi aşağıdaki gibi tanımlanır:
Burada c u yönündedir ve kuvvetin uygulama yönünde nötr eksenden olan mesafeyi gösterir. M eğilme momentidir. Kirişin enine kesitini ele alırsak, üst kısımda oluşan çekme gerilmeleri ve alt kısımda oluşan basma gerilmeleri de kirişteki maksimum gerilmelerdir. Kesitin ortasından geçen nötr eksen normal eksen üzerinde ise çekme ve basma gerilme değerleri sıfırdır.
sınır şartları
Kiriş denklemi, x’e göre türevler tarafından hesaplanan maksimum dört sınır koşulu içerir. Sınır koşulları genellikle tipik desteklerdir, yani yükleri noktaya, momentlere ve diğer etkilere etki eder.
destek kirişi
Destekli bir kirişten örnek: Bir ucu sabitlenmiş olan kirişin diğer ucu da tamamen serbesttir. Hareket etmeden durağan denildiğinde çökme ve eğim sıfır, tamamen serbest denildiğinde ise kesme kuvveti ve eğilme momentinin sıfır olduğu anlamına gelir. EI’nin sabit olması durumunda, en soldaki koordinat sıfır ve en sağdaki koordinat L (L ışın uzunluğudur) olarak alındığında, sınır koşulları tanımlanır:
En iyi bilinen sınır koşulları şunları içerir:
– istikrarlı desteği gösterir.
– pin bağlantısını gösterir. (arıza ve sıfır an).
– bağlantı olmadığını ve dolayısıyla indirme olmadığını gösterir.
– uygulama noktasında F büyüklüğünde bir kuvveti belirtir.
indirme durumu
Uygulama yükü, parametrik koşullar altında veya w’nin bir fonksiyonu olarak bulunabilir. Dağıtılmış yükleme genellikle rahatlık için tercih edilir. Modeldeki yüklerin belirlenmesinde ve özellikle titreşim analizinde sınır koşulları kullanılmaktadır.
Delta işlevi, nokta yüklemeyi modellerken yardımcı olarak kullanılır. Örneğin, sabit bir mesnet ve serbest ucunun üst noktasına etki eden bir F yükü ile L uzunluğunda bir kiriş düşünelim. Sınır koşulları göz önüne alındığında, aşağıdaki gibi ifade edilebilirler:
iş olarak,
Kesme gerilimi (üçüncü türev) için sınır koşulları kaldırılmıştır, aksi takdirde burada bir çelişki olacaktır. Bunlar aynı sınır değer problemleridir ve her ikisi de aynı sonuca götürür:
Farklı alanlarda birçok noktasal yükün uygulandığı uygulamalarda u(x) önemli bir işleve sahiptir. Bu işlevi kullanmak durumu basitleştirir, aksi takdirde paketin her biri 4 farklı sınır koşuluna sahip bölümlere bölünmesi gerekir.
Akıllı ifadelerle, birçok farklı yük ve bu yüklerin oluşturduğu ilginç problemler kolayca çözülebilir. Örnek olarak, yükün bir fonksiyonu olarak kirişteki titreşimler şu şekilde hesaplanabilir:
Burada μ ışının lineer şiddetidir ve kesinlikle sabit değildir. Bu zamana bağlı değişiklik, denklemi kısmi bir diferansiyel denklem haline getirir. Bir başka ilginç örnek, bir kirişteki dönme hareketinin sabit açısal hız ω ile tanımlanmasıdır:
Timoşenko’nun ışın teorisi
Bu teori, kirişteki kayma ve dönmeden kaynaklanan atalet faktörleri Euler-Bernoulli teorisine eklendi, yani bir şekilde geliştirildi. Eğilme sırasında iç yapıda meydana gelen deformasyonlar nedeniyle gövde titreşiminin bir sonucu olarak kirişteki kayma gerilmeleri ortaya çıkar. Bu enine titreşimler, kirişe uygulanan dış kuvvetlere, bunlar tarafından üretilen torklara ve kirişin malzeme özelliklerine bağlıdır. Kirişteki kesme etkilerini hesaba katmak için etkin bir kayma alanına ihtiyaç vardır. Timoşenko’nun yer değiştirme faktörü (k > 1) bu bölgeyi kA olarak ifade eder.
Timoşenko teorisinde hesaplamalar yapılırken kayma ve atalet momenti de dikkate alındığından sonuç her zaman Euler-Bernoulli teorisinden daha büyüktür. Timoşenko’nun teorisi gerçeğe daha yakın sonuçlar veren bir teoridir. Bu teori, özellikle büyük kesitlerde daha doğru sonuçlar verdiği için daha kalın kiriş teorisi olarak bilinir. Euler-Bernoulli teorisi ise ince ışın teorisi olarak bilinir. Bu iki teori tarafından çözülen kiriş problemlerinde, kiriş uzunluğunun (L) kesit yüksekliğine (h) oranının artmasıyla sonuçlar yakınsar. Dolayısıyla Timoşenko’nun L/h oranı küçük olan problemler için daha doğru sonuçlar verdiğini kesin olarak söyleyebiliriz.
Timoşenko’nun teorisinde,
Hesaplandı.
K: Timoşenko’nun kesme modülü (〖dikdörtgen kesit için: π〗 ^ 2/12?…0,822)
E: esneklik modülü
G: elastisitenin kesme modülü
çözüm
Timoshenko ve Euler-Bernoulli teoremleri genellikle kirişlerdeki sehim ve gerilmelerin hesaplandığı denklemlerden oluşur. Her iki teori de aynı amaca hizmet eder. Her iki teori de temelde aynı amaca hizmet etse de aralarında belli başlı farklılıklar vardır ve bu farklılıkları şu şekilde açıklayabiliriz.
Bu teorileri, bir taraftan mesnetlenmiş basit bir kirişin montajında, kirişin serbest ucundan uygulanan tek bir yük için ele alırsak, bu kuvvetten kaynaklanan eğilme momenti sadece Euler-Bernoulli teorisinde açıklanır. Timoşenko’nun teorisinde bu kuvvetten kaynaklanan momentin yanı sıra deformasyonlardan kaynaklanan kayma gerilmeleri, kirişteki düşey kuvvetler ve eğilme sonucu dönme etkisinden kaynaklanan atalet momenti de hesaba katılır. Bu nedenle Timsohenko teorisi kullanılarak bulunan problemin çözümünün Euler-Bernoulli teorisinden daha doğru sonuçlar vermesi beklenmektedir. Burada çok önemli bir diğer nokta da Timoşenko’nun teorisinin daha kalın kirişlerde 6 kata kadar daha büyük doğru sonuçlar vermesidir. Bu nedenle Timoşenko’nun teorisi “kalın ışın teorisi” olarak da bilinir. Kiriş daha ince olduğunda, iki teori arasındaki sonuç farkı azalır ve ince kirişler için nispeten yakın sonuçlar elde edilir.
Diğer gönderilerimize göz at
[wpcin-random-posts]